Matriz de Resultado Exacto: Construcción del Mapa de Probabilidades con Poisson

1. Introducción: la Superficie de Probabilidad Fundamental del Fútbol

En el trading cuantitativo de fútbol, los principales mercados (1X2, Más/Menos de goles, Hándicap Asiático, Ambos Marcan y margen exacto de victoria) no son fenómenos estadísticos independientes. Son derivados de una única distribución estocástica: la superficie de probabilidad conjunta de los resultados exactos.

Los apostadores recreativos suelen tratar los mercados como sucesos desconectados: apuestan a "Más de 2,5 Goles" en una casa, a "Gana el Arsenal" en otra y a "Ambos Marcan" en una tercera. Así quedan expuestos a márgenes acumulados en varias líneas derivadas. Los analistas cuantitativos hacen lo contrario: construyen una única cuadrícula de probabilidad bivariada, la Matriz de Resultado Exacto, y obtienen las cuotas justas de todos los mercados relacionados sumando subconjuntos de celdas.

Esta guía técnica explica cómo construir la Matriz de Resultado Exacto a partir de las expectativas de goles de Poisson ($\lambda$ y $\mu$). Analizamos los límites de truncamiento de la masa de probabilidad, detallamos las sumas de celdas para cada mercado derivado, incorporamos la corrección de Dixon-Coles para resultados bajos, recorremos un ejemplo de matriz y ofrecemos código en Python.

2. Construcción de la Cuadrícula Bivariada: la Matriz de Probabilidades $7\times 7$

Supongamos que el modelo econométrico fija las intensidades de goles esperados para el Local $H$ ($\lambda >0$) y el Visitante $A$ ($\mu >0$). Bajo la hipótesis clásica de Poisson independiente, la probabilidad de que el local marque exactamente $i$ goles y el visitante exactamente $j$ goles es el producto de sus funciones de probabilidad marginales:

Dimensión de la Matriz y Límites de Truncamiento

La distribución de Poisson tiene soporte infinito ($i,j\in \{0,1,2,\dots ,\infty \}$), pero en la práctica la cuadrícula se trunca en un límite superior $K$. ¿Qué dimensión conviene usar?

Lo que recoge una cuadrícula $7\times 7$ (resultados de $0-0$ a $6-6$, 49 celdas) depende de las expectativas: el 99,9% de la masa de probabilidad para $\lambda =1.5,\mu =1.2$, el 99,1% para $\lambda =\mu =2.0$, pero solo el 95,2% para $\lambda =\mu =2.8$. Elija la cuadrícula según tolerancia explícita de cola omitida y parámetros definidos. Normalizar la cuadrícula truncada condiciona a ella, no recupera marcadores omitidos. Amplíela e informe la cola restante.

3. Mercados Derivados como Particiones de la Matriz

La gran ventaja operativa de la Matriz de Resultado Exacto es que cualquier mercado corresponde a una partición geométrica de la cuadrícula:

1. El Mercado de Resultado 1X2

Las 49 celdas se dividen en tres regiones mutuamente excluyentes respecto a la diagonal principal:

2. Líneas de Más/Menos Goles

Los mercados de total de goles evalúan si el marcador agregado $S=i+j$ supera un umbral de medio gol $T\in \{0.5,1.5,2.5,3.5,4.5\}$. La probabilidad del Menos es la suma de las celdas de las antidiagonales en las que $i+j\le \lfloor T\rfloor$:

3. Ambos Marcan (BTTS)

El mercado "Ambos Marcan: No" representa el suceso en que al menos un equipo no marca ($i=0$ o $j=0$). Corresponde a la unión de la primera fila y la primera columna de la matriz:

4. Hándicaps Asiáticos

Para cualquier línea de Hándicap Asiático $H\in \{\pm 0.5,\pm 1.0,\pm 1.5,\dots \}$, la probabilidad de que el local cubra el hándicap es la suma de las celdas que cumplen $i+H>j$:

4. La Corrección de Dixon-Coles para Resultados Bajos

Dixon y Coles (1997) comprobaron que los modelos de Poisson independientes infravaloran los empates $0-0$ y $1-1$ y sobrevaloran los resultados $1-0$ y $0-1$. Para corregir este sesgo, las cuatro celdas de resultado bajo $\{0,1\}\times \{0,1\}$ se multiplican por el factor de ajuste de Dixon y Coles ${\tau }_{i,j}(\lambda ,\mu ,\rho )$:

Donde $\rho$ se ajusta con partidos históricos y suele ser pequeño y negativo (el código de abajo usa $\rho =-0.11$ como ejemplo). La corrección $\tau$ traslada masa de probabilidad de los resultados $1-0$ y $0-1$ a los empates $0-0$ y $1-1$, lo que eleva ligeramente la probabilidad de empate.

5. Ejemplo Paso a Paso: Manchester City contra Newcastle

Considere un partido hipotético de la Premier League con intensidades de goles esperados de $\lambda =2.15$ (Manchester City como local) y $\mu =0.85$ (Newcastle como visitante).

La Cuadrícula Central $4\times 4$ (Subconjunto)

Probabilidades de los Mercados Derivados y Cuotas Justas

Las cifras del 1X2 suman todos los resultados; en este partido la cuadrícula $7\times 7$ contiene el 99,3% de la masa de probabilidad.

• Victoria Local ($P_{\text{Home}}$): ${\sum }_{i>j}P(i,j)=10.70\%+11.51\%+9.78\%+8.25\%+\cdots =\mathrm{𝟔𝟕.𝟐}\%⟹O_{\text{fair}}=\mathrm{𝟏.𝟒𝟗}$
• Empate ($P_{\text{Draw}}$): ${\sum }_{k}P(k,k)=4.98\%+9.10\%+4.16\%+0.84\%+\cdots =\mathrm{𝟏𝟗.𝟐}\%⟹O_{\text{fair}}=\mathrm{𝟓.𝟐𝟏}$
• Victoria Visitante ($P_{\text{Away}}$): ${\sum }_{i<j}P(i,j)=4.23\%+1.80\%+3.87\%+\cdots =\mathrm{𝟏𝟑.𝟔}\%⟹O_{\text{fair}}=\mathrm{𝟕.𝟑𝟒}$
• Más de 2,5 Goles: $1-(4.98\%+4.23\%+10.70\%+1.80\%+9.10\%+11.51\%)=1-42.32\%=\mathrm{𝟓𝟕.𝟔𝟖}\%⟹O_{\text{fair}}=\mathrm{𝟏.𝟕𝟑}$
• Ambos Marcan (Sí): $(1-e^{-2.15})(1-e^{-0.85})=(0.8835)(0.5726)=\mathrm{𝟓𝟎.𝟓𝟗}\%⟹O_{\text{fair}}=\mathrm{𝟏.𝟗𝟖}$

6. Implementación en Python: Generador de la Cuadrícula de Resultado Exacto

A continuación se muestra un script en Python que genera la cuadrícula $7\times 7$ completa, aplica el ajuste de Dixon-Coles y obtiene los precios justos de todos los mercados derivados.

# correct_score_matrix_engine.py
import numpy as np
from scipy.stats import poisson

def generate_correct_score_matrix(lambda_home, mu_away, rho=-0.11, max_goals=6):
    # Generates a calibrated 7x7 correct score probability matrix.
    grid_size = max_goals + 1
    matrix = np.zeros((grid_size, grid_size), dtype=np.float64)
    
    # Compute raw independent Poisson probabilities
    for i in range(grid_size):
        p_home = poisson.pmf(i, lambda_home)
        for j in range(grid_size):
            p_away = poisson.pmf(j, mu_away)
            matrix[i, j] = p_home * p_away
            
    # Apply Dixon-Coles low-score correction tau
    tau_00 = 1.0 - lambda_home * mu_away * rho
    tau_01 = 1.0 + lambda_home * rho
    tau_10 = 1.0 + mu_away * rho
    tau_11 = 1.0 - rho
    
    matrix[0, 0] *= tau_00
    matrix[0, 1] *= tau_01
    matrix[1, 0] *= tau_10
    matrix[1, 1] *= tau_11
    
    # Normalize matrix to 1.0 to absorb truncation error
    matrix /= np.sum(matrix)
    
    # Derive Ancillary Markets
    p_home_win = np.sum(np.tril(matrix, -1))
    p_draw = np.sum(np.diag(matrix))
    p_away_win = np.sum(np.triu(matrix, 1))
    
    # Over / Under 2.5
    under_25_mask = np.array([[i + j <= 2 for j in range(grid_size)] for i in range(grid_size)])
    p_under_25 = np.sum(matrix[under_25_mask])
    p_over_25 = 1.0 - p_under_25
    
    # Both Teams To Score (BTTS)
    p_btts_yes = np.sum(matrix[1:, 1:])
    p_btts_no = 1.0 - p_btts_yes
    
    return {
        'matrix': matrix,
        'home_win_prob': p_home_win,
        'draw_prob': p_draw,
        'away_win_prob': p_away_win,
        'over_25_prob': p_over_25,
        'under_25_prob': p_under_25,
        'btts_yes_prob': p_btts_yes,
        'fair_1x2_odds': (1.0 / p_home_win, 1.0 / p_draw, 1.0 / p_away_win),
        'fair_ou25_odds': (1.0 / p_over_25, 1.0 / p_under_25),
        'fair_btts_odds': (1.0 / p_btts_yes, 1.0 / p_btts_no)
    }

if __name__ == '__main__':
    res = generate_correct_score_matrix(2.15, 0.85)
    print("Fair 1X2 Odds:", np.round(res['fair_1x2_odds'], 2))
    print("Fair Over/Under 2.5:", np.round(res['fair_ou25_odds'], 2))
    print("Fair BTTS Odds:", np.round(res['fair_btts_odds'], 2))

7. Estabilidad Numérica y Normalización

Al calcular matrices de Poisson conjuntas, la precisión de coma flotante importa en resultados extremos como 6-5 o 5-4. El código de producción acumula los logaritmos de las funciones de probabilidad, $\ln P(i,j)=i\ln \lambda -\lambda -\ln (i!)+j\ln \mu -\mu -\ln (j!)$, y vuelve al espacio de probabilidades con la exponencial para evitar el underflow. Dividir toda la cuadrícula por su suma acumulada ${\sum }_{i,j}P(i,j)$ hace que la probabilidad total sea exactamente 1, de modo que los precios de 1X2, totales, Ambos Marcan y hándicaps que se derivan de ella son coherentes entre sí.