Riesgo de Ruina en Apuestas: Simulación de Monte Carlo y Supervivencia del Capital

1. Introducción: la Ley Fundamental de la Ruina del Jugador

Tres eventos requieren definiciones separadas: ruina absoluta significa llegar a cero o no poder financiar la siguiente apuesta exigida; una barrera fija se mide desde el saldo inicial; la caída desde máximos se mide desde el máximo acumulado. La Sección 2 conserva el modelo clásico de barrera cero. La tabla mide si el saldo toca la mitad del valor inicial en 2.000 apuestas, sin representar saldo cero ni una caída del 50% desde el máximo.

En la teoría de la probabilidad y en la modelización estocástica del patrimonio, el Riesgo de Ruina (RoR) es la restricción más importante de cualquier actividad de apuestas. Formalizado por Christiaan Huygens (1657) y Pierre Rémond de Montmort (1708) en el problema clásico de la ruina del jugador, el Riesgo de Ruina es la probabilidad de que la trayectoria del capital toque una barrera inferior absorbente, ya sea la quiebra total ($W=0$) o un nivel de drawdown del que no hay recuperación ($W\le W_{\text{ruin}}$), antes de alcanzar un objetivo superior de patrimonio.

Entre los apostadores recreativos predomina una intuición errónea: creer que tener una ventaja matemática positiva ($\text{EV}>0$) garantiza el éxito financiero. En realidad, la esperanza positiva es una condición necesaria para crecer a largo plazo, pero no suficiente. Por la varianza binomial, la dependencia de la trayectoria y la agrupación aleatoria de resultados negativos, un apostador con ventaja pero con una política de stake agresiva o mal calibrada puede quebrar mucho antes de que se manifieste la Ley de los Grandes Números.

Las fórmulas de manual ofrecen soluciones cerradas para escenarios simplificados con stake constante, pero las apuestas deportivas reales implican stakes dinámicos, cuotas variables (desde favoritos a 1,25 hasta sorpresas a 8,50), ventajas que cambian con el tiempo y error de estimación del modelo. Para medir la probabilidad real de supervivencia en esas condiciones se utiliza la simulación de Monte Carlo.

Este artículo expone los fundamentos matemáticos del Riesgo de Ruina, compara las fórmulas analíticas con la simulación, muestra cuánto reduce el Kelly Fraccional el riesgo de cola e incluye una simulación vectorizada en Python con 10.000 trayectorias de banca (script completo: /papers/risk_of_ruin_simulation.py).

2. Derivaciones Analíticas: la Fórmula Clásica de la Ruina del Jugador

El modelo clásico usa una apuesta monetaria fija $U$ en cada ensayo independiente a cuota par, con probabilidad de victoria $p$ y derrota $q=1-p$. El saldo inicial monetario es $B_0$, equivalente a $N=B_0/U$ unidades de apuesta. El objetivo superior $T>N$ se mide en esas mismas unidades. El paseo comienza en $N$ unidades y termina en cero o $T$. El estado $k$ siguiente cuenta unidades de apuesta, no dinero.

La Ecuación en Diferencias y su Solución Cerrada

Sea $R(k)$ la probabilidad de ruina con un capital inicial de $k$ unidades. Condicionando en el resultado de la primera apuesta, $R(k)$ cumple la relación de recurrencia lineal homogénea de segundo orden:

Con las condiciones de contorno $R(0)=1$ (la ruina se ha producido) y $R(T)=0$ (se ha alcanzado el objetivo). La ecuación característica $p\cdot r^2-r+q=0$ se factoriza como $(r-1)(p\cdot r-q)=0$, con raíces $r_1=1$ y $r_2=q/p$.

Para un objetivo infinito ($T\to \infty$) y un juego favorable ($p>q$):

Donde $N=B_0/U$ es la banca expresada en unidades de apuesta.

Cuotas Desiguales y la Aproximación Browniana Continua

Con cuotas desiguales, el paseo de apuesta monetaria fija puede aproximarse mediante movimiento browniano con deriva monetaria positiva $\mu$ y varianza monetaria por apuesta ${\sigma }^2$. Si $R$ es el beneficio por unidad apostada, entonces $\mu =UE[R]$ y ${\sigma }^2=U^2\mathrm{Var}(R)$. La fórmula equivalente por unidad usa la profundidad $N=B_0/U$. Es una aproximación continua de horizonte ilimitado y barrera cero, sin objetivo superior de parada; no es la simulación proporcional finita siguiente.

Con deriva positiva y saldo inicial fijos, la aproximación da una probabilidad mayor de tocar la barrera cuando aumenta la varianza. Unidades monetarias, apuesta y evento de parada deben mantenerse coherentes al comparar fórmulas.

3. Stake Fijo frente a Proporcional: el Efecto Kelly

Con apuesta proporcional ideal, $0<f<1$ y cuotas finitas, cada multiplicador del saldo es positivo. El saldo permanece positivo tras cualquier número finito de apuestas. Esto no implica un límite patrimonial positivo: el comportamiento a largo plazo depende del crecimiento logarítmico esperado y de las hipótesis. Apuestas mínimas, errores de estimación y retiradas fijas son factores adicionales que este modelo proporcional no incluye.

En una apuesta proporcional con retorno $X$, $\mathrm{SD}(fX)=f\mathrm{SD}(X)$ y $\mathrm{Var}(fX)=f^2\mathrm{Var}(X)$. Reducir la fracción a la mitad reduce esta desviación típica a la mitad y esta varianza a una cuarta parte. Estas identidades no determinan la probabilidad de caída en un horizonte finito. La trayectoria $100\to 200\to 120$ cae un 40% desde el máximo sin tocar la mitad del saldo inicial.

4. Arquitectura de la Simulación de Monte Carlo

La tabla usa 10.000 trayectorias independientes, 2.000 apuestas, saldo inicial de $10,000 y semilla 20261016. Cada escenario fija probabilidad, cuota y regla de apuesta. La trayectoria se cuenta una vez si su saldo mínimo es como máximo $5,000. La generación continúa tras la barrera, que es una observación y no una orden de parada. Para apuestas fijas, el script público usa un paseo aditivo sin restricción; sus saldos finales no modelan la incapacidad de financiar apuestas posteriores.

5. Resultados de la Simulación por Ventaja, Cuota y Fracción de Kelly

La tabla muestra el evento de barrera fija definido antes, no la caída desde el máximo ni la ruina en cero. El generador de escenarios y los resultados están en /papers/risk_of_ruin_simulation.py, /papers/risk_of_ruin_results.json.

La simulación muestra el coste de un dimensionamiento agresivo: con Kelly Completo, entre el 39,5% y el 46,8% de las trayectorias sufrieron un caída hasta la mitad del saldo inicial en 2.000 apuestas. Medio Kelly lo redujo al 7,7% (ventaja del 3%) y al 11,4% (ventaja del 5%), entre cuatro y cinco veces menos, mientras que la banca final mediana bajó un 23% y un 43%, respectivamente. Cuarto de Kelly mantuvo el riesgo por debajo del 0,5%. El stake fijo del 2% de la banca inicial tuvo un riesgo del 17,9%, porque el importe apostado no disminuye cuando la banca se reduce.

6. Implementación en Python: Monte Carlo con 10.000 Trayectorias

A continuación se muestra una versión compacta en NumPy del simulador para un escenario de stake proporcional. El script completo que generó la tabla anterior es /papers/risk_of_ruin_simulation.py.

# monte_carlo_ror.py
import numpy as np

def run_half_bank_simulation(
    initial_bankroll=10000.0,
    odds=2.00,
    true_prob=0.53, # +6% EV
    stake_fraction=0.03, # 3% proportional
    num_bets=2000,
    num_simulations=10000,
    barrier_fraction=0.50
):
    # Fixed starting-bank barrier simulation
    lower_barrier = initial_bankroll * barrier_fraction
    b = odds - 1.0
    
    # Pre-generate uniform random variates for all paths (num_bets, num_simulations)
    np.random.seed(42)
    random_matrix = np.random.rand(num_bets, num_simulations)
    win_matrix = random_matrix < true_prob
    
    # Multiplier per step: (1 + f * b) if win else (1 - f)
    step_multipliers = np.where(win_matrix, 1.0 + stake_fraction * b, 1.0 - stake_fraction)
    
    # Cumulative wealth trajectory via cumulative product
    wealth_trajectories = initial_bankroll * np.cumprod(step_multipliers, axis=0)
    
    # Calculate minimum wealth to detect a fixed starting-bank barrier hit
    min_wealth_per_path = np.min(wealth_trajectories, axis=0)
    threshold_hits = min_wealth_per_path <= lower_barrier
    threshold_hit = np.mean(threshold_hits) * 100.0
    
    final_wealths = wealth_trajectories[-1, :]
    
    return {
        'threshold_hit_pct': threshold_hit,
        'median_final_wealth': np.median(final_wealths),
        'p5_minimum_wealth': np.percentile(min_wealth_per_path, 5),
        'p95_best_wealth': np.percentile(final_wealths, 95)
    }

if __name__ == '__main__':
    res = run_half_bank_simulation(stake_fraction=0.03)
    print(f"P(hit half initial bank within horizon): {res['threshold_hit_pct']:.2f}%")
    print(f"Median Final Bankroll: ${res['median_final_wealth']:,.2f}")
    print(f"5th Percentile Lowest Dip: ${res['p5_minimum_wealth']:,.2f}")

7. Pautas de Riesgo: el Umbral de Supervivencia del 1%

Un límite de planificación como el 1% debe especificar su evento y horizonte. En estos escenarios solo Quarter Kelly mantuvo por debajo del 1% la probabilidad de tocar la mitad del saldo inicial en 2.000 apuestas. Eso no limita una caída del 50% desde un máximo posterior ni valida una estrategia real. Otras cuotas, probabilidades y restricciones requieren un nuevo cálculo.

1. Límite de Fracción: trate Medio Kelly ($\gamma =0.50$) como techo y use Cuarto de Kelly ($\gamma \le 0.25$) cuando la estimación de la ventaja sea incierta o el mercado tenga alta varianza (por ejemplo, resultado exacto).
2. Recalibración Dinámica: recalcule el importe de la unidad tras cada sesión en lugar de fijarlo según el capital inicial.
3. Trinquete de Stop-Loss: si la banca sufre un drawdown del 25%, reduzca automáticamente la fracción de Kelly a la mitad hasta que el capital supere el máximo anterior.

La Psicología de los Drawdowns Asimétricos

La recuperación aritmética es distinta de la probabilidad del evento: perder un 40% exige ganar un 66,7% para recuperarlo; perder un 50% exige ganar un 100%. Estas identidades no determinan la frecuencia de una barrera inferior ni de una caída desde el máximo. Apuestas menores pueden reducir riesgos en un modelo definido, pero no garantizan la recuperación.

8. Profundidad de la Banca en Unidades

La ecuación en diferencias de la Sección 2 explica por qué importa la profundidad de la banca. Cuando la probabilidad de ganar supera la de perder, el cociente $q/p$ es menor que uno, y la probabilidad de ruina cae exponencialmente a medida que crece la banca medida en unidades de apuesta. Subir la unidad reduce esa profundidad de forma lineal y eleva el Riesgo de Ruina de forma exponencial: a cuota par y con $p=0.525$, una banca de 20 unidades tiene un 13,5% de probabilidad de ruina en un horizonte ilimitado, mientras que 40 unidades la reducen al 1,8%.