Рейтинги силы атаки и обороны: параметризация пуассоновских моделей в футболе

1. Введение: узкое место параметризации пуассоновских моделей футбола

В количественной футбольной аналитике распределение Пуассона является основным инструментом для прогноза исходов, расчета справедливых вероятностей 1X2, построения линий азиатских фор и матриц точного счета. В стандартной двумерной модели Пуассона число голов хозяев ($X$) и гостей ($Y$) за 90 минут моделируется как дискретные случайные величины с интенсивностями $\lambda$ и $\mu$:

Математика перевода $\lambda$ и $\mu$ в рыночные вероятности хорошо известна, но начинающие аналитики неизбежно упираются в главный практический вопрос: откуда берутся сами интенсивности ожидаемых голов $\lambda$ и $\mu$?

Субъективные оценки, медийные сюжеты и простые исторические средние не учитывают силу соперников по календарю, динамику домашнего преимущества и различия в надежности обороны. Атака, забившая три мяча команде из зоны вылета, не обязана показать такой же результат в гостях против лучшей защиты лиги.

В этом руководстве описан метод расчета рейтингов атаки и обороны по турнирной таблице, выведены формулы совместного ожидания, разобран пошаговый пример с гипотетическими цифрами команд, введено экспоненциальное взвешивание по времени и проведено сравнение реальных голов с моделями ожидаемых голов ($xG$).

2. Базовые константы лиги: макросреда

Прежде чем оценивать клубы, модель должна откалибровать средний уровень результативности турнира. Он различается между лигами и от сезона к сезону, поэтому его нужно измерять в той лиге, которую моделируете.

Базовые параметры лиги

1. Число матчей ($N_{\text{matches}}$): в лиге из 20 команд с двухкруговой системой сезон включает $20\times 19=380$ матчей.
2. Голы хозяев всего ($G_{\text{home, total}}$): сумма голов всех хозяев за выбранный период.
3. Голы гостей всего ($G_{\text{away, total}}$): сумма голов всех гостей.
4. Средние голы хозяев за матч (${\overline{G}}_{\text{home}}$): $${\overline{G}}_{\text{home}}=\frac{G_{\text{home, total}}}{N_{\text{matches}}}$$
5. Средние голы гостей за матч (${\overline{G}}_{\text{away}}$): $${\overline{G}}_{\text{away}}=\frac{G_{\text{away, total}}}{N_{\text{matches}}}$$

В английской Премьер-лиге в сезонах 2023–24 и 2024–25 (760 матчей, football-data.co.uk) базовые значения составили ${\overline{G}}_{\text{home}}\approx 1.66$ и ${\overline{G}}_{\text{away}}\approx 1.45$, в среднем ${\overline{G}}_{\text{total}}\approx 3.11$ гола за матч, а множитель домашнего преимущества $1.66/1.45\approx 1.14$.

3. Индексы силы атаки ($A_i$)

Индекс силы атаки показывает, насколько результативна команда по сравнению со средним уровнем лиги в тех же условиях (дома или в гостях). Он равен отношению голов клуба за матч к средней результативности лиги:

Сила атаки дома ($A_{\text{home},i}$)

Сила атаки в гостях ($A_{\text{away},i}$)

Индекс $1.00$ означает ровно среднюю атаку. Значение $A=1.35$ говорит о том, что клуб забивает на 35% больше средней команды в этих условиях, а $A=0.75$ означает атаку, которая забивает на 25% меньше нормы лиги.

4. Индексы силы обороны ($D_i$)

Индекс силы обороны показывает надежность защиты относительно среднего уровня лиги. Важно: чем ниже значение, тем лучше оборона, потому что низкий индекс означает меньше пропущенных голов:

Сила обороны дома ($D_{\text{home},i}$)

Сила обороны в гостях ($D_{\text{away},i}$)

Обратите внимание на знаменатели: для домашней обороны команды $i$ мы делим на средние голы гостей (${\overline{G}}_{\text{away}}$), потому что именно гости пытаются забить на стадионе команды $i$. Аналогично гостевая оборона команды $i$ нормируется на средние голы хозяев (${\overline{G}}_{\text{home}}$).

5. Синтез интенсивностей ожидаемых голов ($\lambda$ и $\mu$)

Когда рейтинги команд посчитаны, прогноз ожидаемых голов в матче хозяев $H$ и гостей $A$ сводится к простому произведению:

Эта формула учитывает три главных фактора результативности в футболе:

1. Базовый уровень голов для соответствующего статуса (${\overline{G}}_{\text{home}}$ или ${\overline{G}}_{\text{away}}$).
2. Силу атаки забивающей команды в этих условиях ($A_{\text{home},H}$ или $A_{\text{away},A}$).
3. Уязвимость обороны соперника в этих условиях ($D_{\text{away},A}$ или $D_{\text{home},H}$).

6. Пошаговый пример: «Арсенал» против «Ливерпуля»

Покажем расчет на практике и найдем параметры Пуассона для топового матча Премьер-лиги: «Арсенал» (дома) против «Ливерпуля» (в гостях).

Данные таблицы (гипотетическая выборка в середине сезона)

• Средние по лиге: ${\overline{G}}_{\text{home}}=1.55$ гола за матч, ${\overline{G}}_{\text{away}}=1.20$ гола за матч.
• «Арсенал» дома (10 матчей): забито 26 ($2.60$ за матч), пропущено 8 ($0.80$ за матч).
• «Ливерпуль» в гостях (10 матчей): забито 22 ($2.20$ за матч), пропущено 11 ($1.10$ за матч).

Шаг 1: домашние рейтинги «Арсенала»

Шаг 2: гостевые рейтинги «Ливерпуля»

Шаг 3: ожидаемые голы ($\lambda$ и $\mu$)

Если подставить $\lambda =1.846$ и $\mu =1.467$ в модель независимого Пуассона, получаются справедливые вероятности $P(\text{Победа Арсенала})\approx \mathrm{46,6}\%$, $P(\text{Ничья})\approx \mathrm{22,6}\%$ и $P(\text{Победа Ливерпуля})\approx \mathrm{30,8}\%$. Поправка Диксона–Коулза немного перенесла бы вероятность в малорезультативные ничьи.

7. Продвинутая калибровка: взвешивание по времени ($\xi$)

Простые средние за сезон предполагают стационарность: игра полугодовой давности, когда основной нападающий был травмирован, считается столь же информативной, как матч прошлых выходных. В классической модели Диксона и Коулза (1997) прошлые матчи получают экспоненциальные веса через параметр затухания $\xi$:

Где $\mathrm{\Delta }t$ означает время в днях или неделях, прошедшее с матча $t$. Значение $\xi$ подбирается по прошлым матчам. При $\xi =0.002$ в день матч двухнедельной давности весит примерно в 1,4 раза больше матча полугодовой давности, при $\xi =0.005$ примерно в 2,3 раза.

8. Ограничения: реальные голы против ожидаемых ($xG$)

Данные о голах легко достать, но сами голы очень шумные. За 10 домашних матчей команда может забить 25 мячей при всего 15,2 ожидаемых голах ($xG$) благодаря удачной реализации или ошибкам вратарей. Количественные аналитики заменяют голы на ожидаемые голы ($xG$) и ожидаемые пропущенные голы ($xGA$) при расчете $A_i$ и $D_i$: xG меньше колеблется от матча к матчу, поэтому рейтинги стабилизируются за меньшее число игр.

9. Домашнее преимущество не постоянно

Домашнее преимущество меняется со временем, и его нужно регулярно переоценивать. В 2 490 матчах Премьер-лиги с августа 2019 по январь 2026 года (football-data.co.uk) отношение голов хозяев к голам гостей колебалось от 1,01 в сезоне 2020–21, когда матчи шли без зрителей, до 1,34 в сезоне 2022–23, в среднем 1,18. Возможные причины: влияние трибун на судей, переезды и тактические тренды. На практике базовый уровень хозяев стоит пересчитывать по скользящему окну последних сезонов, а не брать среднее за десятилетия.