Матрица точного счета: построение полной карты вероятностей на базе модели Пуассона

1. Введение: фундаментальная поверхность вероятностей в футболе

В количественной торговле на футбол основные рынки (1X2, тоталы голов, азиатские форы, «обе забьют» и точная разница) не являются независимыми статистическими явлениями. Все они производные от одного распределения: совместной поверхности вероятностей точного счета.

Любители часто воспринимают рынки как несвязанные события: ставят «ТБ 2,5» в одной конторе, «победу Арсенала» в другой и «обе забьют» в третьей. Так они платят маржу, накопленную сразу в нескольких производных линиях. Количественные аналитики действуют наоборот: строят единую двумерную сетку вероятностей, матрицу точного счета, и получают справедливые коэффициенты всех связанных рынков, суммируя подмножества ее ячеек.

В этом руководстве показано, как построить матрицу точного счета по пуассоновским ожиданиям голов ($\lambda$ и $\mu$). Мы разбираем пороги усечения вероятностной массы, суммы ячеек для каждого производного рынка, поправку Диксона–Коулза для малых счетов, пример матрицы и код на Python.

2. Построение двумерной сетки: матрица вероятностей $7\times 7$

Пусть эконометрическая модель задает интенсивности ожидаемых голов для хозяев $H$ ($\lambda >0$) и гостей $A$ ($\mu >0$). В классической модели независимого Пуассона вероятность того, что хозяева забьют ровно $i$ голов, а гости ровно $j$, равна произведению маргинальных вероятностей:

Размер матрицы и пороги усечения

У распределения Пуассона бесконечный носитель ($i,j\in \{0,1,2,\dots ,\infty \}$), но на практике сетку обрезают на верхней границе $K$. Какой размер выбрать?

Доля вероятности, которую охватывает сетка $7\times 7$ (счета от $0-0$ до $6-6$, 49 ячеек), зависит от ожиданий: 99,9% при $\lambda =1.5,\mu =1.2$, 99,1% при $\lambda =\mu =2.0$, но только 95,2% при $\lambda =\mu =2.8$. Выбирайте сетку по явному допуску пропущенного хвоста при заданных параметрах. Нормировка усечённой сетки условна на попадание в неё и не восстанавливает отсутствующие счета. Расширьте сетку и укажите остаточный хвост.

3. Производные рынки как разбиения матрицы

Главная практическая сила матрицы точного счета в том, что любой рынок соответствует геометрическому разбиению сетки:

1. Рынок исхода 1X2

49 ячеек счета делятся на три непересекающиеся области относительно главной диагонали:

2. Тоталы голов

Рынки тоталов проверяют, превышает ли суммарный счет $S=i+j$ дробный порог $T\in \{0.5,1.5,2.5,3.5,4.5\}$. Вероятность тотала меньше равна сумме ячеек на антидиагоналях, где $i+j\le \lfloor T\rfloor$:

3. Обе забьют (BTTS)

Исход «Обе забьют: нет» означает, что хотя бы одна команда не забила ($i=0$ или $j=0$). Это объединение первой строки и первого столбца матрицы:

4. Азиатские форы

Для любой азиатской форы $H\in \{\pm 0.5,\pm 1.0,\pm 1.5,\dots \}$ вероятность того, что хозяева пройдут фору, равна сумме ячеек, где $i+H>j$:

4. Поправка Диксона–Коулза для малых счетов

Диксон и Коулз (1997) показали, что модели независимого Пуассона занижают вероятность ничьих $0-0$ и $1-1$ и завышают счета $1-0$ и $0-1$. Чтобы исправить это смещение, четыре ячейки малых счетов $\{0,1\}\times \{0,1\}$ умножаются на поправочный коэффициент Диксона–Коулза ${\tau }_{i,j}(\lambda ,\mu ,\rho )$:

Где $\rho$ подбирается по историческим матчам и обычно мал и отрицателен (в коде ниже для примера $\rho =-0.11$). Поправка $\tau$ переносит вероятность со счетов $1-0$ и $0-1$ на ничьи $0-0$ и $1-1$ и немного повышает вероятность ничьей.

5. Пошаговый пример: «Манчестер Сити» против «Ньюкасла»

Рассмотрим гипотетический матч Премьер-лиги с интенсивностями ожидаемых голов $\lambda =2.15$ («Манчестер Сити» дома) и $\mu =0.85$ («Ньюкасл» в гостях).

Центральная сетка $4\times 4$ (фрагмент)

Вероятности производных рынков и справедливые коэффициенты

Значения 1X2 суммируют все счета; в этом матче сетка $7\times 7$ содержит 99,3% вероятностной массы.

• Победа хозяев ($P_{\text{Home}}$): ${\sum }_{i>j}P(i,j)=10.70\%+11.51\%+9.78\%+8.25\%+\cdots =\mathrm{𝟔𝟕.𝟐}\%⟹O_{\text{fair}}=\mathrm{𝟏.𝟒𝟗}$
• Ничья ($P_{\text{Draw}}$): ${\sum }_{k}P(k,k)=4.98\%+9.10\%+4.16\%+0.84\%+\cdots =\mathrm{𝟏𝟗.𝟐}\%⟹O_{\text{fair}}=\mathrm{𝟓.𝟐𝟏}$
• Победа гостей ($P_{\text{Away}}$): ${\sum }_{i<j}P(i,j)=4.23\%+1.80\%+3.87\%+\cdots =\mathrm{𝟏𝟑.𝟔}\%⟹O_{\text{fair}}=\mathrm{𝟕.𝟑𝟒}$
• ТБ 2,5: $1-(4.98\%+4.23\%+10.70\%+1.80\%+9.10\%+11.51\%)=1-42.32\%=\mathrm{𝟓𝟕.𝟔𝟖}\%⟹O_{\text{fair}}=\mathrm{𝟏.𝟕𝟑}$
• Обе забьют (да): $(1-e^{-2.15})(1-e^{-0.85})=(0.8835)(0.5726)=\mathrm{𝟓𝟎.𝟓𝟗}\%⟹O_{\text{fair}}=\mathrm{𝟏.𝟗𝟖}$

6. Реализация на Python: генератор сетки точного счета

Ниже приведен скрипт на Python, который строит полную сетку $7\times 7$, применяет поправку Диксона–Коулза и рассчитывает справедливые цены всех производных рынков.

# correct_score_matrix_engine.py
import numpy as np
from scipy.stats import poisson

def generate_correct_score_matrix(lambda_home, mu_away, rho=-0.11, max_goals=6):
    # Generates a calibrated 7x7 correct score probability matrix.
    grid_size = max_goals + 1
    matrix = np.zeros((grid_size, grid_size), dtype=np.float64)
    
    # Compute raw independent Poisson probabilities
    for i in range(grid_size):
        p_home = poisson.pmf(i, lambda_home)
        for j in range(grid_size):
            p_away = poisson.pmf(j, mu_away)
            matrix[i, j] = p_home * p_away
            
    # Apply Dixon-Coles low-score correction tau
    tau_00 = 1.0 - lambda_home * mu_away * rho
    tau_01 = 1.0 + lambda_home * rho
    tau_10 = 1.0 + mu_away * rho
    tau_11 = 1.0 - rho
    
    matrix[0, 0] *= tau_00
    matrix[0, 1] *= tau_01
    matrix[1, 0] *= tau_10
    matrix[1, 1] *= tau_11
    
    # Normalize matrix to 1.0 to absorb truncation error
    matrix /= np.sum(matrix)
    
    # Derive Ancillary Markets
    p_home_win = np.sum(np.tril(matrix, -1))
    p_draw = np.sum(np.diag(matrix))
    p_away_win = np.sum(np.triu(matrix, 1))
    
    # Over / Under 2.5
    under_25_mask = np.array([[i + j <= 2 for j in range(grid_size)] for i in range(grid_size)])
    p_under_25 = np.sum(matrix[under_25_mask])
    p_over_25 = 1.0 - p_under_25
    
    # Both Teams To Score (BTTS)
    p_btts_yes = np.sum(matrix[1:, 1:])
    p_btts_no = 1.0 - p_btts_yes
    
    return {
        'matrix': matrix,
        'home_win_prob': p_home_win,
        'draw_prob': p_draw,
        'away_win_prob': p_away_win,
        'over_25_prob': p_over_25,
        'under_25_prob': p_under_25,
        'btts_yes_prob': p_btts_yes,
        'fair_1x2_odds': (1.0 / p_home_win, 1.0 / p_draw, 1.0 / p_away_win),
        'fair_ou25_odds': (1.0 / p_over_25, 1.0 / p_under_25),
        'fair_btts_odds': (1.0 / p_btts_yes, 1.0 / p_btts_no)
    }

if __name__ == '__main__':
    res = generate_correct_score_matrix(2.15, 0.85)
    print("Fair 1X2 Odds:", np.round(res['fair_1x2_odds'], 2))
    print("Fair Over/Under 2.5:", np.round(res['fair_ou25_odds'], 2))
    print("Fair BTTS Odds:", np.round(res['fair_btts_odds'], 2))

7. Численная устойчивость и нормировка

При расчете совместных пуассоновских матриц точность вычислений с плавающей точкой важна для экстремальных счетов вроде 6-5 или 5-4. Рабочий код накапливает логарифмы вероятностей, $\ln P(i,j)=i\ln \lambda -\lambda -\ln (i!)+j\ln \mu -\mu -\ln (j!)$, и возвращается к вероятностям через экспоненту, чтобы избежать исчезновения порядка. Деление всей сетки на ее накопленную сумму ${\sum }_{i,j}P(i,j)$ делает полную вероятность ровно равной 1, поэтому цены 1X2, тоталов, «обе забьют» и фор, полученные из матрицы, согласованы между собой.