Modelo Dixon-Coles Explicado: Correção de Baixos Placares e Decaimento Temporal no Futebol

1. Introdução: A Falha Estrutural do Modelo Poisson Independente

Na modelagem quantitativa de futebol de associação, o modelo de Poisson independente — introduzido pioneiramente na análise esportiva por M. J. Maher em 1982 — representa a referência clássica para estimar a expectativa de gols e as distribuições de placares exatos. A premissa central de Maher afirma que os gols marcados pela equipe mandante ($X$) e pela equipe visitante ($Y$) ao longo dos 90 minutos de tempo regulamentar seguem processos estocásticos pontuais de Poisson mutuamente independentes, parametrizados pelas expectativas marginais de gols $\lambda$ e $\mu$:

A independência é uma hipótese que deve ser avaliada num conjunto de dados definido. O estado da partida e a interação tática podem criar dependência, mas uma correção também pode ajustar ruído. A comparação precisa de distinguir mudanças na dependência de mudanças nas intensidades. Uma diferença entre modelos não estabelece erro de cotação nem o sinal do valor esperado numa casa.

Em seu célebre artigo de 1997 publicado no Journal of the Royal Statistical Society, os estatísticos britânicos Mark J. Dixon e Stuart G. Coles apresentaram a solução canônica para este problema: "Modelling Association Football Scores and Inefficiencies in the Football Betting Market". O modelo Dixon-Coles introduziu um fator de dependência de placares baixos ${\tau }_{x,y}(\lambda ,\mu ,\rho )$ que pondera explicitamente os estados de baixa pontuação, preservando integralmente a distribuição marginal de Poisson, associado a um mecanismo de decaimento temporal exponencial para refletir a evolução das forças relativas das equipes ao longo do tempo.

Este artigo deduz a correção de quatro células, preserva as marginais Poisson, define a verossimilhança ponderada no tempo e apresenta um exemplo Python com restrições. A comparação numérica usa entradas fixas explícitas. O ajuste e as probabilidades podem ser reproduzidos separadamente de alegações sobre cotações atuais ou rentabilidade.

2. O Fator de Correção Bivariada de Dixon-Coles

Rho é um parâmetro de dependência dos placares baixos, não a correlação de Pearson entre as contagens de gols. Seu domínio depende das duas intensidades. A implementação de verossimilhança exige todos os fatores tau estritamente positivos. Com lambda=10, mu=2 e rho=-0.35, tau(0,1)=-2.5; todo o conjunto de parâmetros deve ser rejeitado, mesmo ao avaliar um placar alto. Truncar a célula em zero e reescalar definiria outra distribuição.

Para corrigir a falha da independência estocástica sem perder a eficiência de cálculo das distribuições de Poisson, Dixon e Coles formularam a seguinte função de probabilidade conjunta ajustada:

O fator de ajuste ${\tau }_{x,y}(\lambda ,\mu ,\rho )$ é uma função escalar discreta definida pontualmente sobre os resultados de baixa pontuação $\{0,1\}\times \{0,1\}$, parametrizada pelo parâmetro de dependência $\rho$:

Demonstração Matemática da Conservação da Probabilidade Total

Para que o modelo seja estatisticamente válido, a introdução de ${\tau }_{x,y}$ deve respeitar dois axiomas fundamentais: não negatividade ($P(X=x,Y=y)\ge 0$) e conservação da probabilidade total (${\sum }_{x=0}^{\infty }{\sum }_{y=0}^{\infty }P(X=x,Y=y)=1$).

Podemos demonstrar a conservação total decompondo o somatório em relação à base clássica de Poisson mais a perturbação sobre os quatro estados modificados:

Onde o termo de perturbação $\mathrm{\Delta }$ é avaliado diretamente sobre os estados $(\mathrm{0,0}),(\mathrm{0,1}),(\mathrm{1,0}),(\mathrm{1,1})$:

Substituindo as probabilidades de Poisson não ajustadas $P_0(\lambda )=e^{-\lambda }$, $P_1(\lambda )=\lambda e^{-\lambda }$, $P_0(\mu )=e^{-\mu }$ e $P_1(\mu )=\mu e^{-\mu }$, e evidenciando o termo comum $e^{-\lambda -\mu }$:

A soma das perturbações é identicamente nula. Logo, a probabilidade total de $100\%$ permanece perfeitamente conservada em qualquer parametrização válida.

Interpretação Física do Parâmetro de Correlação $\rho$

O ajuste abaixo escolhe uma região de rho não positivo como ilustração, junto com as restrições de positividade dependentes das intensidades. É uma escolha do modelo, não um sinal universal inferido dos dados de futebol. A família também pode admitir rho positivo: com lambda=1.65, mu=1.15 e rho=0.10, os quatro fatores são 0.81025, 1.165, 1.115 e 0.9, todos positivos.

No domínio válido, rho negativo tem os seguintes efeitos algébricos em relação à independência com as mesmas intensidades:

• No estado $(\mathrm{0,0})$: ${\tau }_{\mathrm{0,0}}=1-\lambda \mu \rho$. Como $\rho <0$, o produto $-\lambda \mu \rho >0$, fazendo com que ${\tau }_{\mathrm{0,0}}>1$. A probabilidade de um empate sem gols é aumentada em relação ao Poisson ingênuo.
• No estado $(\mathrm{1,1})$: ${\tau }_{\mathrm{1,1}}=1-\rho$. Como $\rho <0$, $1-\rho =1+|\rho |>1$. A probabilidade do placar 1 a 1 é explicitamente amplificada.
• Nos estados $(\mathrm{0,1})$ e $(\mathrm{1,0})$: ${\tau }_{\mathrm{0,1}}=1+\lambda \rho <1$ e ${\tau }_{\mathrm{1,0}}=1+\mu \rho <1$. As probabilidades de vitórias magras de 1 a 0 são reduzidas, compensando com exatidão o ganho dos empates.

3. Parametrização das Equipes: Ataque, Defesa e Mando de Campo

No modelo de Dixon e Coles, as expectativas de gols ${\lambda }_{i,j}$ (equipe mandante $i$ contra visitante $j$) e ${\mu }_{i,j}$ (equipe visitante $j$ contra mandante $i$) são estruturadas de forma log-linear através das forças latentes de cada clube:

Onde:

• ${\alpha }_i>0$: O índice ofensivo (força de ataque) da equipe $i$. Um time com ${\alpha }_i=\mathrm{1,30}$ gera 30% mais chances de gol do que a média da competição.
• ${\beta }_j>0$: A fragilidade defensiva (vulnerabilidade a sofrer gols) da equipe $j$. Um time com ${\beta }_j=\mathrm{0,80}$ concede 20% menos gols do que a média da liga.
• $\gamma >0$: O fator global de vantagem do mando de campo da liga. Em ligas europeias consolidadas, $\gamma$ varia entre $\mathrm{1,20}$ e $\mathrm{1,35}$.

A Restrição de Identificabilidade de Parâmetros

Um erro conceitual comum em modelos de classificação esportiva é a indeterminação de escala. Multiplicar todos os parâmetros de ataque ${\alpha }_k$ por uma constante $c>0$ e dividir todas as defesas ${\beta }_k$ por $c$ gera valores idênticos para ${\lambda }_{i,j}=(c{\alpha }_i)({\beta }_j/c)\gamma ={\alpha }_i{\beta }_j\gamma$.

Para eliminar graus de liberdade espúrios e fixar o estimador de Máxima Verossimilhança, Dixon e Coles estabeleceram uma restrição de normalização sobre todos os $N$ clubes do campeonato:

Isso padroniza a força média de ataque da liga em exatamente 1,00, servindo de âncora matemática para todas as métricas relativas.

Fixar o ataque médio em um remove a simetria de escala entre ataque e defesa. Isso não demonstra um ótimo global único da verossimilhança, informação suficiente nos confrontos ou precisão preditiva. Os índices são relativos ao modelo e à amostra ajustados; só a normalização não torna comparáveis diretamente os índices de competições diferentes.

4. Decaimento Temporal Exponencial: A Função de Memória $\xi$

Modelos ingênuos tratam partidas disputadas há dois anos com o mesmo peso de partidas realizadas no último domingo. No futebol real, transferências de atletas, trocas de comissão técnica e oscilações físicas alteram substancialmente o rendimento das equipes.

Para incorporar a dinâmica temporal sem perder a robustez amostral, Dixon e Coles introduziram uma função de decaimento temporal exponencial $w_k(\xi )$ para cada partida histórica $k$ realizada na data $t_k$, relativa à data de previsão $t$:

Onde $(t-t_k)$ representa o tempo decorrido em dias e $\xi >0$ é o hiperparâmetro de decaimento contínuo.

5. Formulação de Máxima Verossimilhança (MLE)

Dado um histórico de $M$ jogos disputados, onde cada partida $k$ envolve o mandante $h_k$, visitante $a_k$, placar $(x_k,y_k)$ e data $t_k$, a função de log-verossimilhança ponderada a ser maximizada é:

Ao expandir o logaritmo em seus termos aditivos, obtemos:

Como os termos fatoriais $-\ln (x_k!)-\ln (y_k!)$ dependem apenas dos dados observados e não dos parâmetros $\mathrm{\Theta }$, eles são ignorados durante a otimização computacional. Minimizamos, portanto, a log-verossimilhança negativa ponderada:

O exemplo usa SLSQP para lidar com a igualdade da escala de ataque e as desigualdades não lineares de tau. Verifica o sucesso do otimizador e as margens de viabilidade antes de armazenar os parâmetros. Uma terminação numérica bem-sucedida não certifica ótimo global nem desempenho em partidas futuras.

6. Comparação Numérica com Intensidades Fixas

Este cálculo usa parâmetros fixos $\lambda =1.65$, $\mu =1.15$ e $\rho =-0.12$. As probabilidades são somadas até 45 gols. As odds são os inversos das probabilidades de cada modelo. O exemplo é reproduzível sem cotações observadas de fechamento. Uma diferença entre dois modelos não estabelece vantagem sobre o mercado.

Under 2.5 contém as quatro células corrigidas, cujas alterações se cancelam. Sua probabilidade é 46.945368% nos dois modelos, com odd aproximada de 2.1301. Over 2.5 também não muda. A dependência pode alterar um total que contenha só parte dessas células, como Under 1.5, além dos empates e de ambas marcam. Reestimar as intensidades pode mudar Under 2.5 através delas. É um efeito diferente de aplicar rho mantendo as intensidades fixas.

7. Implementação Completa em Python: Classe DixonColesModel

Abaixo encontra-se o script completo em Python contendo a implementação da classe com otimização numérica via scipy.optimize.minimize:

O exemplo restringe os quatro fatores de placares baixos para cada par ordenado de equipes conhecidas, fixa o ataque médio em um e verifica sucesso e viabilidade do otimizador. Probabilidades inválidas são rejeitadas, não truncadas. A grade padrão usa quantis Poisson para manter a massa omitida abaixo de cerca de 2e-12, informa essa massa e conserva as probabilidades sem renormalização. Xi é uma taxa diária ilustrativa; sua escolha exige validação separada.

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
from scipy.stats import poisson


class DixonColesModel:
    def __init__(self, xi=0.0065):
        # Illustrative daily decay rate, not a validated universal optimum.
        if not np.isfinite(xi) or xi < 0:
            raise ValueError("xi must be a finite nonnegative daily rate")
        self.xi = xi
        self.teams = []
        self.team_indices = {}
        self.params = None
        self.gamma = 1.25
        self.rho = -0.11

    @staticmethod
    def tau(x, y, lambda_, mu, rho):
        # Check the whole joint model, including unobserved low-score cells.
        if not np.all(np.isfinite([lambda_, mu, rho])) or min(lambda_, mu) <= 0:
            raise ValueError("Intensities must be finite and positive")
        factors = [1 - lambda_ * mu * rho, 1 + lambda_ * rho,
                   1 + mu * rho, 1 - rho]
        if min(factors) <= 0:
            raise ValueError("rho is outside the strictly positive tau domain")
        return {(0, 0): factors[0], (0, 1): factors[1],
                (1, 0): factors[2], (1, 1): factors[3]}.get((x, y), 1.0)

    def bivariate_prob(self, x, y, lambda_, mu, rho):
        if not np.all(np.isfinite([x, y])) or min(x, y) < 0 or int(x) != x or int(y) != y:
            raise ValueError("Goals must be nonnegative integers")
        factor = self.tau(x, y, lambda_, mu, rho)
        return factor * poisson.pmf(x, lambda_) * poisson.pmf(y, mu)

    def _unpack_params(self, params, n_teams):
        return (params[:n_teams], params[n_teams:2*n_teams],
                params[2*n_teams], params[2*n_teams + 1])

    def fit(self, matches):
        self.params = None
        if not matches:
            raise ValueError("At least one match is required")
        for m in matches:
            goals = [m['home_goals'], m['away_goals']]
            age = m.get('days_ago', 0.0)
            if (m['home'] == m['away'] or not np.all(np.isfinite(goals + [age]))
                    or min(goals) < 0 or any(int(v) != v for v in goals) or age < 0):
                raise ValueError("Invalid teams, goals or match age")
        self.teams = sorted({m['home'] for m in matches} | {m['away'] for m in matches})
        self.team_indices = {team: i for i, team in enumerate(self.teams)}
        n_teams = len(self.teams)
        init = np.concatenate([np.ones(n_teams), np.ones(n_teams), [1.25, -0.10]])

        def tau_constraints(params):
            alpha, beta, gamma, rho = self._unpack_params(params, n_teams)
            values = []
            # Every ordered pairing of known teams must define a valid model.
            for h in range(n_teams):
                for a in range(n_teams):
                    if h == a:
                        continue
                    lam, mu = alpha[h] * beta[a] * gamma, alpha[a] * beta[h]
                    values.extend([1 - lam * mu * rho, 1 + lam * rho,
                                   1 + mu * rho, 1 - rho])
            return np.asarray(values) - 1e-8

        def loss_fn(params):
            alpha, beta, gamma, rho = self._unpack_params(params, n_teams)
            nll = 0.0
            for m in matches:
                h, a = self.team_indices[m['home']], self.team_indices[m['away']]
                lam, mu = alpha[h] * beta[a] * gamma, alpha[a] * beta[h]
                try:
                    factor = self.tau(m['home_goals'], m['away_goals'], lam, mu, rho)
                except ValueError:
                    return 1e12  # Reject an infeasible optimizer trial, never clip a probability.
                weight = np.exp(-self.xi * m.get('days_ago', 0.0))
                log_prob = (np.log(factor) + poisson.logpmf(m['home_goals'], lam)
                            + poisson.logpmf(m['away_goals'], mu))
                nll -= weight * log_prob
            return float(nll)

        constraints = [
            {'type': 'ineq', 'fun': tau_constraints},
            {'type': 'eq', 'fun': lambda p: np.mean(p[:n_teams]) - 1.0},
        ]
        bounds = [(0.05, 3.5)] * (2*n_teams) + [(1.0, 1.8), (-0.35, 0.0)]
        res = minimize(loss_fn, init, method='SLSQP', bounds=bounds,
                       constraints=constraints, options={'maxiter': 1000, 'ftol': 1e-9})
        if (not res.success or not np.all(np.isfinite(res.x)) or not np.isfinite(res.fun)
                or np.min(tau_constraints(res.x)) < -1e-9
                or abs(np.mean(res.x[:n_teams]) - 1) > 1e-8):
            raise RuntimeError(f"No valid converged fit: {res.message}")
        self.params = res.x
        _, _, self.gamma, self.rho = self._unpack_params(res.x, n_teams)
        return res

    def predict_score_matrix(self, home_team, away_team, max_goals=None):
        if self.params is None:
            raise ValueError("Fit the model first")
        alpha, beta, gamma, rho = self._unpack_params(self.params, len(self.teams))
        h, a = self.team_indices[home_team], self.team_indices[away_team]
        lam, mu = alpha[h] * beta[a] * gamma, alpha[a] * beta[h]
        self.tau(0, 0, lam, mu, rho)
        if max_goals is None:
            max_goals = int(max(poisson.ppf(1 - 1e-12, lam), poisson.ppf(1 - 1e-12, mu)))
        if not isinstance(max_goals, (int, np.integer)) or max_goals < 1:
            raise ValueError("max_goals must be an integer of at least one")
        goals = np.arange(max_goals + 1)
        matrix = np.outer(poisson.pmf(goals, lam), poisson.pmf(goals, mu))
        for x, y in [(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)]:
            matrix[x, y] *= self.tau(x, y, lam, mu, rho)
        # Keep the original probability mass; disclose the omitted grid tail.
        self.omitted_mass = float(max(0.0, 1 - matrix.sum()))
        return matrix, lam, mu

    def predict_1x2(self, home_team, away_team):
        matrix, lam, mu = self.predict_score_matrix(home_team, away_team)
        home, draw, away = np.tril(matrix, -1).sum(), np.trace(matrix), np.triu(matrix, 1).sum()
        return {'home_win': float(home), 'draw': float(draw), 'away_win': float(away),
                'fair_odds_home': float(1/home), 'fair_odds_draw': float(1/draw),
                'fair_odds_away': float(1/away), 'lambda': float(lam), 'mu': float(mu),
                'omitted_probability_mass': self.omitted_mass}

8. Extensões Contemporâneas e Conclusão

Embora a formulação de Dixon e Coles tenha sido publicada em 1997, ela continua sendo a espinha dorsal de precificação de casas profissionais mundiais. Variações modernas introduzem cópulas contínuas arquimedianas (Frank e Gumbel) ou modelos bivariados de Poisson com choque comum (Karlis e Ntzoufras). Todavia, para precificação pré-jogo de 1X2, Dupla Hipótese, Placar Exato e Linhas de Totais, o ajuste do fator $\tau$ permanece incomparável em clareza analítica, precisão empírica e velocidade de execução estocástica.