Derivando Probabilidades de Over/Under da Distribuição de Poisson: Guia Matemático

1. Introdução: A Mecânica das Apostas em Totais de Gols

Mercados Over/Under comparam gols liquidados com uma linha. Meia linha tem vitória/derrota; inteira pode devolver e quarto divide a stake. A participação no volume global não é estabelecida. Os cálculos tratam desses eventos sob modelo escolhido.

Para o apostador recreativo, apostar em totais de gols é uma decisão baseada em intuição subjetiva. Avalia-se o retrospecto recente das equipes, o histórico de confrontos diretos, as condições climáticas ou se os técnicos possuem características táticas defensivas ou ofensivas. No entanto, nas mesas de trading quantitativo e fundos sistemáticos, os totais de gols são tratados estritamente como derivativos matemáticos de processos pontuais de Poisson.

Este guia técnico detalha a derivação matemática das probabilidades de Over/Under a partir de distribuições de Poisson. Provamos o teorema da convolução de Poisson, derivamos a função de distribuição acumulada para linhas inteiras e fracionárias, comparamos a soma da matriz bidimensional de placares com a convolução unidimensional, detalhamos as linhas asiáticas divididas (2.25 e 2.75) e explicamos como remover a margem da casa nesses mercados.

2. Derivação Matemática: A Propriedade de Convolução de Poisson

Na modelagem estatística esportiva clássica, o número de gols marcados pelo time da casa ($X$) e pelo time visitante ($Y$) durante os 90 minutos regulamentares são modelados como variáveis aleatórias independentes de Poisson com parâmetros ${\lambda }_H>0$ e ${\mu }_A>0$:

O total de gols marcados no confronto é a variável aleatória $T=X+Y$.

Demonstração do Teorema da Convolução

Uma das propriedades mais elegantes da distribuição de Poisson é que a soma de duas variáveis aleatórias de Poisson independentes é também uma variável de Poisson cujo parâmetro é a soma dos parâmetros individuais: $T\sim \text{Pois}({\lambda }_{\text{tot}})$, onde ${\lambda }_{\text{tot}}={\lambda }_H+{\mu }_A$.

Demonstramos isso formalmente pela convolução discreta da função conjunta de probabilidade:

Como $X$ e $Y$ são assumidos independentes, a probabilidade conjunta decompõe-se no produto das marginais:

Colocando $e^{-({\lambda }_H+{\mu }_A)}$ em evidência e multiplicando e dividindo por $k!$ dentro do somatório:

Pelo Teorema Binomial, o somatório ${\sum }_{j=0}^k\left(\genfrac{}{}{0px}{}{k}{j}\right){\lambda }_H^j{\mu }_A^{k-j}$ equivale exatamente a ${({\lambda }_H+{\mu }_A)}^k$. Concluímos assim a fórmula fechada:

Essa prova matemática estabelece que, sob a hipótese de independência, a distribuição do total de gols de um jogo depende exclusivamente do somatório das expectativas de gols (${\lambda }_{\text{tot}}$), independentemente de como esses gols são distribuídos entre as equipes.

3. Cálculo das Probabilidades Acumuladas de Over/Under

Nas casas de apostas, as linhas de totais são fixadas em frações decimais com final .5 ($0.5,1.5,2.5,3.5,4.5$) para garantir que a aposta seja estritamente binária (sem possibilidade de empate/devolução). Uma aposta em "Under $K.5$" vence se $T\le K$, enquanto uma aposta em "Over $K.5$" vence se $T\ge K+1$.

Fórmula Geral do Under Acumulado

A probabilidade acumulada $P(\text{Under }K.5)$ é a soma da função de probabilidade de Poisson de $k=0$ até $K$:

A probabilidade complementar de Over é:

Exemplo Prático: Linha de 2.5 Gols

Para a tradicional linha de 2.5 gols ($K=2$), a equação se expande em:

Suponha um jogo com ${\lambda }_H=\mathrm{1,70}$ e ${\mu }_A=\mathrm{1,10}$. A expectativa total é ${\lambda }_{\text{tot}}=\mathrm{2,80}$ gols:

• $P(T=0)=e^{-\mathrm{2,80}}\approx \mathrm{0,0608}$ ($\mathrm{6,08}\%$)
• $P(T=1)=\mathrm{2,80}\cdot e^{-\mathrm{2,80}}\approx \mathrm{0,1703}$ ($\mathrm{17,03}\%$)
• $P(T=2)=\frac{{\mathrm{2,80}}^2}{2}\cdot e^{-\mathrm{2,80}}\approx \mathrm{0,2384}$ ($\mathrm{23,84}\%$)
• $P(\text{Under }2.5)=\mathrm{0,0608}+\mathrm{0,1703}+\mathrm{0,2384}=\mathrm{0,4695}$ ($\mathrm{46,95}\%$)
• $P(\text{Over }2.5)=1-\mathrm{0,4695}=\mathrm{0,5305}$ ($\mathrm{53,05}\%$)
• Odds justas sem margem: Under 2.5 = $\mathrm{2,130}$; Over 2.5 = $\mathrm{1,885}$.

4. Soma da Matriz 2D vs. Convolução 1D

Embora a convolução unidimensional seja extremamente rápida, modelos quantitativos profissionais frequentemente utilizam a Matriz Conjunta de Placares:

Essa abordagem matricial é obrigatória quando incorporamos o ajuste de Dixon e Coles. No futebol real, placares com poucos gols (principalmente 0-0 e 1-1) ocorrem com frequência superior à prevista pelo modelo de Poisson independente puro. A correção de Dixon-Coles modifica as probabilidades dessas células específicas, quebrando a hipótese de convolução unidimensional e exigindo a soma elemento a elemento da matriz.

5. Linhas Asiáticas de Totais: Devolução e Apostas Divididas

No handicap asiático, encontramos linhas inteiras (Over/Under 2.0 e 3.0) e linhas de quarto (Over/Under 2.25 e 2.75):

• Linhas Inteiras (Under 2.0): Se o jogo terminar com exatamente 2 gols, a aposta é devolvida (push). A odd justa ajustada pela devolução é calculada condicionando sobre o espaço de resultados decisivos: $${\text{Fair Odds}}_{\text{Under 2.0}}=\frac{1-P(T=2)}{P(T\le 1)}$$
• Linhas de Quarto (Under 2.25): A aposta é dividida em duas metades iguais: 50% em Under 2.0 e 50% em Under 2.5. Se o jogo terminar com 2 gols, a metade do Under 2.0 é devolvida e a metade do Under 2.5 é ganha (meio ganho / meio empate).

6. O Viés do Público no Over e Remoção de Margem

O mercado de totais sofre de um viés comportamental documentado: apostadores recreativos tendem fortemente a apostar no Over, pois torcer por gols e lances ofensivos é psicologicamente mais agradável do que torcer por um 0-0. As casas de apostas aproveitam esse viés inflando a margem no Over, o que frequentemente gera valor matemático (+EV) consistente nas apostas em Under a longo prazo.

Para extrair probabilidades justas de duas opções cotadas com margem ($O_{\text{over}}$ e $O_{\text{under}}$), aplica-se a normalização multiplicativa:

7. Implementação em Python: Motor Completo de Precificação

O script a seguir em Python calcula a função de massa de probabilidade de Poisson, deriva as probabilidades de Over/Under para todas as linhas e devolve as odds justas sem vig:

import math

def calcular_probabilidades_over_under(lambda_casa, mu_fora, max_gols=10):
    lambda_tot = lambda_casa + mu_fora
    pmf = []
    for k in range(max_gols + 1):
        prob = (lambda_tot**k * math.exp(-lambda_tot)) / math.factorial(k)
        pmf.append(prob)
        
    linhas = [0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5]
    resultados = {}
    
    for linha in linhas:
        corte = int(math.floor(linha))
        prob_under = sum(pmf[:corte + 1])
        prob_over = 1.0 - prob_under
        resultados[f"Under {linha}"] = {"prob": prob_under, "fair_odds": 1.0 / prob_under}
        resultados[f"Over {linha}"] = {"prob": prob_over, "fair_odds": 1.0 / prob_over}
        
    return resultados

8. Conclusão: Aplicação Prática no Mercado

Modelar os mercados de Over/Under por meio de distribuições de Poisson transforma palpites intuitivos em precificação matemática rigorosa. A propriedade de convolução permite determinar odds justas para qualquer linha a partir da soma das expectativas das equipes, proporcionando uma vantagem analítica sólida e sustentável.