Вероятность разорения в ставках: метод Монте-Карло и модели выживания банкролла

1. Введение: фундаментальный закон разорения игрока

Нужно различать три события: абсолютное разорение при нулевом банке или невозможности оплатить следующую обязательную ставку; достижение фиксированной доли начального банка; просадку от текущего максимума. В разделе 2 сохранена классическая модель с границей в нуле. Таблица симуляции измеряет достижение половины начального банка за 2 000 ставок. Это не нулевой банк и не просадка на 50% от текущего пика.

В теории вероятностей и стохастическом моделировании капитала риск разорения (Risk of Ruin, RoR) является главным ограничением любой деятельности, связанной со ставками. Формализованный Христианом Гюйгенсом (1657) и Пьером Ремоном де Монмором (1708) в классической задаче о разорении игрока, риск разорения означает вероятность того, что траектория капитала коснется нижней поглощающей границы, то есть полного банкротства ($W=0$) или просадки, после которой восстановление невозможно ($W\le W_{\text{ruin}}$), раньше, чем достигнет верхней целевой отметки.

Среди любителей распространено ошибочное представление, что положительный математический перевес ($\text{EV}>0$) гарантирует успех. На деле положительное матожидание является необходимым условием долгосрочного роста, но не достаточным. Из-за биномиальной дисперсии, зависимости от траектории и случайного скопления проигрышей беттор с перевесом, но с агрессивной или плохо откалиброванной политикой ставок может разориться задолго до того, как проявится закон больших чисел.

Учебные формулы дают точные решения для упрощенных сценариев с постоянной ставкой, но в реальных ставках на спорт размер ставки меняется, коэффициенты различаются (от фаворитов за 1,25 до аутсайдеров за 8,50), перевес со временем меняется, а модель ошибается в оценках. Чтобы измерить реальную вероятность выживания в таких условиях, используют симуляцию Монте-Карло.

В статье изложены математические основы риска разорения, аналитические формулы сравниваются с симуляцией, показано, насколько дробный Келли снижает хвостовой риск, и приведена векторизованная симуляция на Python на 10 000 траекторий банкролла (полный скрипт: /papers/risk_of_ruin_simulation.py).

2. Аналитический вывод: классическая формула разорения игрока

В классической модели на каждое независимое пари с равной чистой выплатой ставится фиксированная денежная сумма $U$. Вероятности выигрыша и проигрыша равны $p$ и $q=1-p$. Начальные деньги $B_0$ соответствуют $N=B_0/U$ единицам ставки. Верхняя цель $T>N$ измеряется в тех же единицах. Блуждание начинается в $N$ единицах и заканчивается в нуле или $T$. Поэтому состояние $k$ ниже означает количество единиц ставки, а не деньги.

Разностное уравнение и решение в замкнутой форме

Пусть $R(k)$ обозначает вероятность разорения при начальном капитале $k$ единиц. Если учесть исход первой ставки, $R(k)$ удовлетворяет однородному линейному рекуррентному соотношению второго порядка:

С граничными условиями $R(0)=1$ (разорение произошло) и $R(T)=0$ (цель достигнута). Характеристическое уравнение $p\cdot r^2-r+q=0$ раскладывается как $(r-1)(p\cdot r-q)=0$, его корни $r_1=1$ и $r_2=q/p$.

Для бесконечной цели ($T\to \infty$) и выгодной игры ($p>q$):

Где $N=B_0/U$ означает размер банкролла в единицах ставки.

Неравные коэффициенты и непрерывное броуновское приближение

При неравных выплатах блуждание с фиксированной денежной ставкой можно приближать броуновским движением с положительным денежным сносом $\mu$ и денежной дисперсией на ставку ${\sigma }^2$. Если $R$ означает прибыль на единицу ставки, то $\mu =UE[R]$, а ${\sigma }^2=U^2\mathrm{Var}(R)$. Поэтому эквивалентная формула для единичной ставки использует глубину $N=B_0/U$. Это непрерывное приближение с бесконечным горизонтом и нулевой границей без верхней цели остановки, а не конечная пропорциональная симуляция ниже.

При постоянных положительном сносе и начальном капитале это приближение даёт большую вероятность достижения границы при росте дисперсии. При сравнении формул нужно сохранять согласованные денежные единицы, размер ставки и событие остановки.

3. Фиксированная ставка против пропорциональной: эффект Келли

В идеальной пропорциональной модели при $0<f<1$ и конечном коэффициенте каждый множитель капитала положителен. Поэтому банк положителен после любого конечного числа ставок. Из этого не следует положительный предел банка: поведение на бесконечном горизонте зависит от точного ожидаемого логарифмического роста и допущений. Минимальные ставки, ошибки вероятностей и фиксированные снятия денег эта модель не учитывает.

Для одной пропорциональной ставки с доходностью $X$ выполняется $\mathrm{SD}(fX)=f\mathrm{SD}(X)$ и $\mathrm{Var}(fX)=f^2\mathrm{Var}(X)$. При уменьшении доли вдвое это стандартное отклонение уменьшается вдвое, а дисперсия вчетверо. Эти равенства не задают вероятность просадки на конечном горизонте. Например, траектория $100\to 200\to 120$ даёт просадку 40% от пика, не достигая половины начального банка.

4. Архитектура симуляции Монте-Карло

В таблице 10 000 независимых траекторий по 2 000 ставок, начальный банк $10,000 и seed 20261016. В каждом сценарии заданы постоянные вероятность, коэффициент и правило ставки. Траектория учитывается один раз, если минимальный банк не превышает $5,000. Генерация продолжается после этой границы: это наблюдаемое событие, а не команда остановки. Для флэта публичный скрипт использует неограниченное аддитивное блуждание; его конечные значения не моделируют невозможность оплатить последующие ставки.

5. Результаты симуляции по перевесу, коэффициенту и доле Келли

Таблица показывает достижение фиксированной границы в рамках заданных допущений, определённое выше, а не просадку от пика и не разорение в нуле. Генератор сценариев и результаты сохранены в /papers/risk_of_ruin_simulation.py, /papers/risk_of_ruin_results.json.

Симуляция показывает цену агрессивного сайзинга: при полном Келли снижение до половины начального банка за 2 000 ставок получили от 39,5% до 46,8% траекторий. Половинный Келли снизил эту долю до 7,7% (перевес 3%) и 11,4% (перевес 5%), то есть в четыре-пять раз, а медианный итоговый банкролл уменьшился на 23% и 43% соответственно. Четвертной Келли удержал риск ниже 0,5%. Флэт в 2% стартового банкролла дал риск 17,9%, потому что сумма ставки не уменьшается вместе с банкроллом.

6. Реализация на Python: Монте-Карло на 10 000 траекторий

Ниже приведена компактная версия симулятора на NumPy для одного сценария с пропорциональной ставкой. Полный скрипт, по которому построена таблица выше: /papers/risk_of_ruin_simulation.py.

# monte_carlo_ror.py
import numpy as np

def run_half_bank_simulation(
    initial_bankroll=10000.0,
    odds=2.00,
    true_prob=0.53, # +6% EV
    stake_fraction=0.03, # 3% proportional
    num_bets=2000,
    num_simulations=10000,
    barrier_fraction=0.50
):
    # Fixed starting-bank barrier simulation
    lower_barrier = initial_bankroll * barrier_fraction
    b = odds - 1.0
    
    # Pre-generate uniform random variates for all paths (num_bets, num_simulations)
    np.random.seed(42)
    random_matrix = np.random.rand(num_bets, num_simulations)
    win_matrix = random_matrix < true_prob
    
    # Multiplier per step: (1 + f * b) if win else (1 - f)
    step_multipliers = np.where(win_matrix, 1.0 + stake_fraction * b, 1.0 - stake_fraction)
    
    # Cumulative wealth trajectory via cumulative product
    wealth_trajectories = initial_bankroll * np.cumprod(step_multipliers, axis=0)
    
    # Calculate minimum wealth to detect a fixed starting-bank barrier hit
    min_wealth_per_path = np.min(wealth_trajectories, axis=0)
    threshold_hits = min_wealth_per_path <= lower_barrier
    threshold_hit = np.mean(threshold_hits) * 100.0
    
    final_wealths = wealth_trajectories[-1, :]
    
    return {
        'threshold_hit_pct': threshold_hit,
        'median_final_wealth': np.median(final_wealths),
        'p5_minimum_wealth': np.percentile(min_wealth_per_path, 5),
        'p95_best_wealth': np.percentile(final_wealths, 95)
    }

if __name__ == '__main__':
    res = run_half_bank_simulation(stake_fraction=0.03)
    print(f"P(hit half initial bank within horizon): {res['threshold_hit_pct']:.2f}%")
    print(f"Median Final Bankroll: ${res['median_final_wealth']:,.2f}")
    print(f"5th Percentile Lowest Dip: ${res['p5_minimum_wealth']:,.2f}")

7. Правила риск-менеджмента: порог выживания 1%

Плановый порог, например 1%, должен задавать событие и горизонт. В приведённых сценариях только Quarter Kelly удержал вероятность достижения половины начального банка ниже 1% за 2 000 ставок. Это не ограничивает вероятность просадки на 50% от будущего пика и не подтверждает реальную стратегию. Для других коэффициентов, вероятностей и ограничений нужен отдельный расчёт.

1. Ограничение доли: считайте половинный Келли ($\gamma =0.50$) верхним пределом и используйте четвертной Келли ($\gamma \le 0.25$), если оценка перевеса неточна или рынок отличается высокой дисперсией (например, точный счет).
2. Динамический пересчет: пересчитывайте размер единицы после каждой сессии, а не фиксируйте его по стартовому капиталу.
3. Защитный стоп-лосс: при просадке банкролла на 25% автоматически уменьшайте долю Келли вдвое, пока капитал не превысит прежний максимум.

Психология асимметричных просадок

Арифметика восстановления отличается от вероятности события: после потери 40% для восстановления нужен рост 66,7%, после потери 50% нужен рост 100%. Эти равенства не определяют частоту достижения нижней границы или просадки от текущего максимума. Уменьшение ставки может снизить риски в заданной модели, но не гарантирует восстановление.

8. Глубина банкролла в единицах

Разностное уравнение из раздела 2 объясняет, почему важна глубина банкролла. Когда вероятность выигрыша выше вероятности проигрыша, отношение $q/p$ меньше единицы, и вероятность разорения падает экспоненциально по мере роста банкролла, измеренного в единицах ставки. Увеличение единицы линейно уменьшает эту глубину и экспоненциально повышает риск разорения: при коэффициенте 2.00 и $p=0.525$ банкролл в 20 единиц имеет 13,5% вероятности разорения на неограниченном горизонте, а 40 единиц снижают ее до 1,8%.