Matriz de Placar Exato: Construindo a Grade de Probabilidade a partir de Poisson

1. Introdução: a Superfície de Probabilidade Fundamental do Futebol

No trading quantitativo de futebol, os principais mercados (1X2, Over/Under de gols, Handicap Asiático, Ambas Marcam e margem exata de vitória) não são fenômenos estatísticos independentes. Eles são derivados de uma única distribuição estocástica: a superfície de probabilidade conjunta dos placares exatos.

Apostadores recreativos costumam tratar os mercados como eventos desconectados: apostam "Over 2,5 Gols" em uma casa, "Vitória do Arsenal" em outra e "Ambas Marcam" em uma terceira. Assim, ficam expostos a margens empilhadas em várias linhas derivadas. Analistas quantitativos fazem o contrário: constroem uma grade de probabilidade bivariada única, a Matriz de Placar Exato, e derivam as odds justas de todos os mercados relacionados somando subconjuntos de células.

Este guia técnico mostra como construir a Matriz de Placar Exato a partir das expectativas de gols de Poisson ($\lambda$ e $\mu$). Analisamos os limites de truncamento da massa de probabilidade, detalhamos as somas de células para cada mercado derivado, incorporamos a correção de Dixon-Coles para placares baixos, percorremos um exemplo de matriz e fornecemos código em Python.

2. Construção da Grade Bivariada: a Matriz de Probabilidades $7\times 7$

Suponha que o modelo econométrico estabeleça as intensidades de gols esperados para o Mandante $H$ ($\lambda >0$) e o Visitante $A$ ($\mu >0$). Sob a hipótese clássica de Poisson independente, a probabilidade de o mandante marcar exatamente $i$ gols e o visitante exatamente $j$ gols é o produto das funções de probabilidade marginais:

Dimensão da Matriz e Limites de Truncamento

A distribuição de Poisson tem suporte infinito ($i,j\in \{0,1,2,\dots ,\infty \}$), mas na prática a grade é truncada em um limite superior $K$. Qual dimensão usar?

Quanto uma grade $7\times 7$ (placares de $0-0$ a $6-6$, 49 células) captura depende das expectativas: 99,9% da massa de probabilidade para $\lambda =1.5,\mu =1.2$, 99,1% para $\lambda =\mu =2.0$, mas apenas 95,2% para $\lambda =\mu =2.8$. Escolha a grade por uma tolerância explícita da cauda omitida. Normalizar a grade truncada condiciona à grade, sem recuperar os placares ausentes; amplie-a e informe a massa restante:

3. Mercados Derivados como Partições da Matriz

O grande poder operacional da Matriz de Placar Exato é que qualquer mercado corresponde a uma partição geométrica da grade:

1. O Mercado de Resultado 1X2

As 49 células de placar se dividem em três regiões mutuamente exclusivas em relação à diagonal principal:

2. Linhas de Over/Under de Gols

Os mercados de total de gols avaliam se o placar agregado $S=i+j$ supera um limite de meio gol $T\in \{0.5,1.5,2.5,3.5,4.5\}$. A probabilidade do Under é a soma das células nas antidiagonais em que $i+j\le \lfloor T\rfloor$:

3. Ambas Marcam (BTTS)

O mercado "Ambas Marcam: Não" representa o evento em que pelo menos um time não marca ($i=0$ ou $j=0$). Isso corresponde à união da primeira linha com a primeira coluna da matriz:

4. Handicaps Asiáticos

Para qualquer linha de Handicap Asiático $H\in \{\pm 0.5,\pm 1.0,\pm 1.5,\dots \}$, a probabilidade de o mandante cobrir o handicap é a soma das células que satisfazem $i+H>j$:

4. A Correção de Dixon-Coles para Placares Baixos

Dixon e Coles (1997) constataram que modelos de Poisson independentes subestimam os empates $0-0$ e $1-1$ e superestimam os placares $1-0$ e $0-1$. Para corrigir esse viés, as quatro células de placar baixo $\{0,1\}\times \{0,1\}$ são multiplicadas pelo fator de ajuste de Dixon e Coles ${\tau }_{i,j}(\lambda ,\mu ,\rho )$:

Onde $\rho$ é ajustado com jogos históricos e costuma ser pequeno e negativo (o código abaixo usa $\rho =-0.11$ como exemplo). A correção $\tau$ transfere massa de probabilidade dos placares $1-0$ e $0-1$ para os empates $0-0$ e $1-1$, o que aumenta um pouco a probabilidade de empate.

5. Exemplo Passo a Passo: Manchester City x Newcastle

Considere um jogo hipotético da Premier League com intensidades de gols esperados de $\lambda =2.15$ (Manchester City em casa) e $\mu =0.85$ (Newcastle fora).

A Grade Central $4\times 4$ (Subconjunto)

Probabilidades dos Mercados Derivados e Odds Justas

Os números do 1X2 somam todos os placares; neste jogo, a grade $7\times 7$ contém 99,3% da massa de probabilidade.

• Vitória do Mandante ($P_{\text{Home}}$): ${\sum }_{i>j}P(i,j)=10.70\%+11.51\%+9.78\%+8.25\%+\cdots =\mathrm{𝟔𝟕.𝟐}\%⟹O_{\text{fair}}=\mathrm{𝟏.𝟒𝟗}$
• Empate ($P_{\text{Draw}}$): ${\sum }_{k}P(k,k)=4.98\%+9.10\%+4.16\%+0.84\%+\cdots =\mathrm{𝟏𝟗.𝟐}\%⟹O_{\text{fair}}=\mathrm{𝟓.𝟐𝟏}$
• Vitória do Visitante ($P_{\text{Away}}$): ${\sum }_{i<j}P(i,j)=4.23\%+1.80\%+3.87\%+\cdots =\mathrm{𝟏𝟑.𝟔}\%⟹O_{\text{fair}}=\mathrm{𝟕.𝟑𝟒}$
• Over 2,5 Gols: $1-(4.98\%+4.23\%+10.70\%+1.80\%+9.10\%+11.51\%)=1-42.32\%=\mathrm{𝟓𝟕.𝟔𝟖}\%⟹O_{\text{fair}}=\mathrm{𝟏.𝟕𝟑}$
• Ambas Marcam (Sim): $(1-e^{-2.15})(1-e^{-0.85})=(0.8835)(0.5726)=\mathrm{𝟓𝟎.𝟓𝟗}\%⟹O_{\text{fair}}=\mathrm{𝟏.𝟗𝟖}$

6. Implementação em Python: Gerador da Grade de Placar Exato

Abaixo está um script em Python que gera a grade $7\times 7$ completa, aplica o ajuste de Dixon-Coles e extrai os preços justos de todos os mercados derivados.

# correct_score_matrix_engine.py
import numpy as np
from scipy.stats import poisson

def generate_correct_score_matrix(lambda_home, mu_away, rho=-0.11, max_goals=6):
    # Generates a calibrated 7x7 correct score probability matrix.
    grid_size = max_goals + 1
    matrix = np.zeros((grid_size, grid_size), dtype=np.float64)
    
    # Compute raw independent Poisson probabilities
    for i in range(grid_size):
        p_home = poisson.pmf(i, lambda_home)
        for j in range(grid_size):
            p_away = poisson.pmf(j, mu_away)
            matrix[i, j] = p_home * p_away
            
    # Apply Dixon-Coles low-score correction tau
    tau_00 = 1.0 - lambda_home * mu_away * rho
    tau_01 = 1.0 + lambda_home * rho
    tau_10 = 1.0 + mu_away * rho
    tau_11 = 1.0 - rho
    
    matrix[0, 0] *= tau_00
    matrix[0, 1] *= tau_01
    matrix[1, 0] *= tau_10
    matrix[1, 1] *= tau_11
    
    # Normalize matrix to 1.0 to absorb truncation error
    matrix /= np.sum(matrix)
    
    # Derive Ancillary Markets
    p_home_win = np.sum(np.tril(matrix, -1))
    p_draw = np.sum(np.diag(matrix))
    p_away_win = np.sum(np.triu(matrix, 1))
    
    # Over / Under 2.5
    under_25_mask = np.array([[i + j <= 2 for j in range(grid_size)] for i in range(grid_size)])
    p_under_25 = np.sum(matrix[under_25_mask])
    p_over_25 = 1.0 - p_under_25
    
    # Both Teams To Score (BTTS)
    p_btts_yes = np.sum(matrix[1:, 1:])
    p_btts_no = 1.0 - p_btts_yes
    
    return {
        'matrix': matrix,
        'home_win_prob': p_home_win,
        'draw_prob': p_draw,
        'away_win_prob': p_away_win,
        'over_25_prob': p_over_25,
        'under_25_prob': p_under_25,
        'btts_yes_prob': p_btts_yes,
        'fair_1x2_odds': (1.0 / p_home_win, 1.0 / p_draw, 1.0 / p_away_win),
        'fair_ou25_odds': (1.0 / p_over_25, 1.0 / p_under_25),
        'fair_btts_odds': (1.0 / p_btts_yes, 1.0 / p_btts_no)
    }

if __name__ == '__main__':
    res = generate_correct_score_matrix(2.15, 0.85)
    print("Fair 1X2 Odds:", np.round(res['fair_1x2_odds'], 2))
    print("Fair Over/Under 2.5:", np.round(res['fair_ou25_odds'], 2))
    print("Fair BTTS Odds:", np.round(res['fair_btts_odds'], 2))

7. Estabilidade Numérica e Normalização

No cálculo de matrizes de Poisson conjuntas, a precisão de ponto flutuante importa para placares extremos como 6-5 ou 5-4. O código de produção acumula os logaritmos das funções de probabilidade, $\ln P(i,j)=i\ln \lambda -\lambda -\ln (i!)+j\ln \mu -\mu -\ln (j!)$, e volta ao espaço de probabilidades pela exponencial para evitar underflow. Dividir toda a grade pela soma acumulada ${\sum }_{i,j}P(i,j)$ faz a probabilidade total ser exatamente 1, de modo que os preços de 1X2, totais, Ambas Marcam e handicaps derivados dela permanecem consistentes entre si.