1. Introdução: A Superfície de Probabilidade Mestra do Futebol
Na análise quantitativa de futebol, os principais mercados de apostas — como o mercado 1X2, Over/Under de gols, Handicaps Asiáticos e Ambos Marcam (BTTS) — não são fenômenos isolados. Todos eles são derivativos estatísticos de uma única distribuição estocástica subjacente: a matriz de probabilidades de placar exato.
Apostadores recreativos tratam cada mercado como um evento separado. Os sindicatos quantitativos profissionais operam no sentido oposto: constroem uma matriz bidimensional de placares ($7 imes 7$) calibrada e extraem as cotações justas de todos os mercados derivados somando as células correspondentes.
- Vitória Mandante (1): soma de todas as células onde $i > j$.
- Empate (X): soma da diagonal principal onde $i = j$.
- Vitória Visitante (2): soma das células onde $i < j$.
- Mais de 2.5 Gols: $1.0 - sum_{i+j le 2} P(i, j)$.
- Ambos Marcam (Sim): soma das células onde $i ge 1$ e $j ge 1$.
2. Construção da Matriz $7 imes 7$
Com as expectativas de gols $lambda$ e $mu$, a probabilidade de um placar exato $(i, j)$ sob a hipótese de Poisson independente é:
Uma grade de 7 por 7 (de 0–0 até 6–6, totalizando 49 placares) cobre mais de 99,5% de toda a massa de probabilidade em jogos profissionais, tornando o erro de truncamento desprezível após a normalização da matriz.
3. Extração dos Mercados Derivados
Somando as regiões geométricas da matriz, extraem-se os mercados com precisão absoluta:
- 1X2: partição entre o triângulo inferior ($i > j$), a diagonal ($i = j$) e o triângulo superior ($i < j$).
- Over/Under 2.5: soma das células com até 2 gols no total ($0-0, 1-0, 0-1, 2-0, 1-1, 0-2$) subtraída de 1.0.
- Ambos Marcam: produto das probabilidades marginais de não ficar zerado: $(1 - e^{-lambda})(1 - e^{-mu})$.
4. Aplicação do Ajuste de Dixon-Coles
As quatro células de baixa pontuação (0-0, 1-0, 0-1, 1-1) recebem o fator de correção $ au_{i,j}(lambda, mu, ho)$ de Dixon e Coles (1997), transferindo probabilidade para os empates com baixa contagem de gols e eliminando as distorções empíricas do modelo independente.
5. Exemplo Prático: Manchester City vs. Newcastle
Com $lambda = 2.15$ e $mu = 0.85$, a matriz projeta: Vitória do City em 66.2% (odd justa 1.51), Empate em 19.6% (odd 5.10), Vitória do Newcastle em 14.2% (odd 7.04) e Over 2.5 em 57.7% (odd 1.73).
6. Código Completo em Python
A versão em inglês deste artigo disponibiliza o script completo em Python utilizando NumPy e SciPy para construir a matriz e derivar as cotações de forma automatizada.
7. Perguntas Frequentes
Estabilidade Numérica e Normalização das Bordas da Matriz
No cálculo de matrizes de Poisson bivariadas, a precisão numérica de ponto flutuante é fundamental ao lidar com placares atípicos de alta contagem de gols (como 6-5 ou 5-4). Em sistemas automatizados de apostas esportivas, acumulam-se os logaritmos das probabilidades: $ln P(i, j) = i ln lambda - lambda - ln(i!) + j ln mu - mu - ln(j!)$. A conversão exponencial de volta ao espaço probabilístico evita o subfluxo numérico (underflow). A normalização final da grade de 7x7 pela soma total garante que a soma das probabilidades seja exatamente igual a 1,00000, preservando a coerência matemática de não-arbitragem em todos os mercados derivados calculados.
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