Матожидание, дисперсия и размер выборки: сколько ставок доказывают мастерство?

1. Введение: ошибка оценки по короткой дистанции

В количественных финансах и статистической теории решений фактический результат понимают как шумную смесь двух компонентов: систематического мастерства (математического ожидания, $+\text{EV}$) и неустранимого случайного шума (дисперсии). В ставках на спорт же почти все путают прошлую прибыль с умением прогнозировать. Любителя с ROI +18% на 150 футбольных ставках объявляют гением, а количественную модель с проверенным перевесом +4%, которая просела на 6% за 300 ставок, выбрасывают как устаревшую.

В поведенческой экономике это искажение называется ошибкой оценки по результату, а усиливает его закон малых чисел (Тверски и Канеман, 1971): ошибочная уверенность, что малые выборки точно отражают свойства всей совокупности. При высокой дисперсии короткая финансовая история почти ничего не говорит о долгосрочном математическом ожидании.

Сколько ставок нужно, чтобы отвергнуть гипотезу о везении с уверенностью 95% или 99%? Как волатильность ставки растет с коэффициентом? Как строгие доверительные интервалы строятся для наблюдаемой доходности?

В статье выводится математика необходимого объема выборки в ставках на спорт. Мы получаем дисперсию одной ставки, применяем центральную предельную теорему для доверительных интервалов, выводим формулу необходимого объема выборки ($N^{\ast }$), разбираем Brier score для проверки калибровки вероятностей, приводим таблицу, рассчитанную по формуле, и даем скрипт на Python для проверки статистической значимости.

2. Дисперсия одной ставки: множитель волатильности

Рассмотрим бинарный исход с десятичным коэффициентом $O$, истинной вероятностью выигрыша $p$ и проигрыша $q=1-p$. Пусть $R$ означает случайную чистую выплату на единицу ставки ($S=1$):

Математическое ожидание

Математическое ожидание доходности $𝔼[R]=\mu$ равно:

Дисперсия

Дисперсия доходности одной ставки $\text{Var}(R)={\sigma }^2$ выводится из второго центрального момента:

Раскрываем скобки и упрощаем:

3. Центральная предельная теорема: распределение доходности на N ставках

Пусть аналитик делает $N$ независимых ставок с одинаковым распределением доходности $(\mu ,{\sigma }^2)$. По центральной предельной теореме Линдеберга–Леви при $N\to \infty$ средняя доходность ${\bar{R}}_N=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N{R}_i$ сходится по распределению к нормальному закону:

Стандартная ошибка средней доходности ($\text{SE}$) равна:

Отсюда следует фундаментальное свойство: неопределенность наблюдаемого ROI уменьшается пропорционально корню из объема выборки ($\sqrt{N}$). Чтобы вдвое сократить погрешность, выборку нужно увеличить вчетверо.

4. Проверка гипотезы и доверительные интервалы

Чтобы понять, отражает ли история ставок реальный перевес или везение, формулируем статистическую гипотезу:

• Нулевая гипотеза ($H_0$): $\mu \le 0$ (перевеса нет, результаты определяются случаем и маржой букмекера).
• Альтернативная гипотеза ($H_1$): $\mu >0$ (у игрока есть статистически подтверждаемый перевес $+\text{EV}$).

Тестовая статистика (Z-score)

При нулевой гипотезе стандартизированный Z-score равен:

Для стандартного уровня доверия 95% (значимость $\alpha =0.05$ в одностороннем тесте) критическое значение $z_{0.05}=1.645$. Для 99% $z_{0.01}=2.326$.

Двусторонний 95% доверительный интервал для истинной доходности

Если аналитик получил доходность ${\bar{R}}_N=+5.0\%$ на $N=400$ ставках с коэффициентом 2.00 ($\sigma =1.00$), 95% доверительный интервал составит:

Интервал включает ноль, поэтому нулевую гипотезу отвергнуть нельзя. Несмотря на ROI +5%, статистически отличить результат игрока от везения невозможно.

5. Аналитический вывод объема выборки: формула $N^{\ast }$

Чтобы узнать, сколько ставок ($N^{\ast }$) нужно для отклонения гипотезы об отсутствии перевеса с мощностью $1-\beta$ и уровнем значимости $\alpha$, приравниваем ожидаемый Z-score к критической границе:

Для стандартных параметров ($\alpha =0.05⟹z_{\alpha }=1.645$ и мощность $80\%⟹z_{\beta }=0.842$, значит $z_{\alpha }+z_{\beta }\approx 2.487$):

Формула показывает, что необходимый объем выборки обратно пропорционален квадрату перевеса ($1/{\text{EV}}^2$). Если перевес вдвое меньше, ставок нужно вчетверо больше.

6. Таблица: необходимый объем выборки по коэффициенту и перевесу

В таблице приведен минимальный объем выборки $N^{\ast }$ для статистической значимости на уровне 95% ($p<0.05$, мощность 80%) при разных коэффициентах и перевесе; расчет по формуле выше с $p=(1+\text{EV})/O$:

При перевесе 2,5–3,0% и коэффициенте 1.95 аналитику нужно около 6 500–9 400 ставок, прежде чем одна только прибыль позволит исключить везение на этом уровне.

7. Калибровка вероятностей и Brier score

Прибыль сходится очень медленно, поэтому аналитики дополнительно проверяют калибровку вероятностей: она использует прогнозную вероятность каждой ставки, а не только ее исход. Основное правило оценки называется Brier score (Брайер, 1950):

Где $p_i$ означает оценку вероятности моделью, а $y_i\in \{0,1\}$ фактический исход. Brier score раскладывается на надежность (калибровку), разрешающую способность и неопределенность. Явно плохо откалиброванная модель может проявиться в компоненте надежности раньше, чем история прибыли скажет что-то определенное.

8. Реализация на Python: проверка статистической значимости

Ниже приведен скрипт на Python, который оценивает любую историю ставок, считает Z-score, строит 95% доверительный интервал и оценивает, сколько еще ставок нужно для подтверждения перевеса.

# betting_significance_tester.py
import numpy as np
from scipy import stats

def evaluate_betting_record(odds_list, outcomes_list, alpha=0.05):
    # Evaluates statistical significance of a betting track record.
    odds = np.array(odds_list, dtype=np.float64)
    outcomes = np.array(outcomes_list, dtype=np.float64) # 1 for win, 0 for loss
    n = len(odds)
    
    # Net returns per unit staked: (O - 1) if win else -1
    returns = np.where(outcomes == 1, odds - 1.0, -1.0)
    
    sample_mean_roi = np.mean(returns)
    sample_std = np.std(returns, ddof=1)
    standard_error = sample_std / np.sqrt(n)
    
    # Z-test against null hypothesis of ROI <= 0
    z_score = sample_mean_roi / standard_error
    p_value_one_tailed = 1.0 - stats.norm.cdf(z_score)
    
    # 95% Confidence Interval for ROI
    z_crit = stats.norm.ppf(1.0 - alpha / 2.0)
    ci_lower = sample_mean_roi - z_crit * standard_error
    ci_upper = sample_mean_roi + z_crit * standard_error
    
    # Required sample size for 80% power at current observed edge
    if sample_mean_roi > 0:
        n_required = int(np.ceil(((1.645 + 0.842) * sample_std / sample_mean_roi)**2))
    else:
        n_required = np.nan
        
    return {
        'num_bets': n,
        'observed_roi_percent': sample_mean_roi * 100.0,
        'z_score': z_score,
        'p_value': p_value_one_tailed,
        'statistically_significant': p_value_one_tailed < alpha,
        'ci_95_roi_percent': (ci_lower * 100.0, ci_upper * 100.0),
        'bets_needed_for_significance': n_required
    }

if __name__ == '__main__':
    # 500 bets at 1.95 odds with 54% win rate (+5.3% ROI)
    np.random.seed(42)
    synthetic_odds = [1.95] * 500
    synthetic_outcomes = np.random.binomial(1, 0.54, 500)
    
    results = evaluate_betting_record(synthetic_odds, synthetic_outcomes)
    for k, v in results.items():
        print(f"{k}: {v}")

9. Ошибка выжившего и иллюзия «успешного каппера»

Предположим, 1 000 любителей-капперов делают по 500 случайных ставок с нулевым перевесом. По свойствам нормального распределения около 130 из них покажут ROI +5% или выше чисто случайно (у каждого вероятность 13,2%, как в блоке выше). Эти везунчики запускают платные подписки, пишут в соцсетях о своем аналитическом превосходстве и привлекают наивные деньги.

Без понимания объема выборки и дисперсии инвесторы попадают в ошибку выжившего: видят заметных победителей и не замечают примерно 870 остальных, которые исчезли. Оценка капперов по Closing Line Value (CLV) и по необходимому объему выборки остается самой надежной защитой от ошибки выжившего.

10. Асимметрия и ставки на аутсайдеров

При применении центральной предельной теоремы к доходности ставок важны старшие моменты: асимметрия и эксцесс. Для асимметричной доходности, например ставок на аутсайдеров с низкой вероятностью выигрыша и большой выплатой, сходимость к нормальному закону медленнее; граница Берри–Эссеена для ошибки такого приближения растет вместе с третьим моментом доходности. При коэффициентах выше 4.00 длинный правый хвост приводит к тому, что симметричные нормальные доверительные интервалы занижают реально необходимый объем выборки. Разложения Корниша–Фишера позволяют скорректировать доверительные границы на эту асимметрию.